선형 독립 (linearly independent), 기저(basis)

어떤 벡터를 나머지 벡터들의 조합으로 나타낼 수 있다면 선형 종속 (linearly dependent)이라 할 수 있습니다. 이와는 반대되는 개념인 선형 독립 (linearly independent)은 선형대수에서 매우 중요하게 다뤄지는 개념입니다. 왜 중요한지 정의와 예시를 함께 살펴보겠습니다.

 

선형 종속 (linearly dependent)

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$

 

위 두 벡터는 선형 종속입니다. 왼쪽 벡터를 스칼라배 하게 되면 손쉽게 오른쪽 벡터를 얻을 수 있습니다. 그래프 상에서 나타내보면 두 벡터는 2차원 공간의 line 밖으로 벗어나지 못합니다. 

 

선형 독립 (linearly independent)

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

 

위 세 벡터는 선형 독립입니다. 아무리 크기를 늘리고(스칼라배), 방향을 바꿔도(더하기) 서로를 표현할 수 없습니다. 서로 독립이기 때문에 이 세 벡터의 선형 결합으로 3차원 공간을 표현(span)할 수 있게 됩니다. 정리해보자면.. 확장할 수 있는 차원에 한계가 있는 선형 종속과는 달리 벡터들이 서로 선형 독립이라면 새로운 차원으로 span할 수 있습니다.

 

선형 독립 조건

$$a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+... +=0$$

 

벡터들의 선형 결합이 0 값을 갖는다면, $a_1, a_2, a_3$ 계수가 모두 0이어야 합니다.

 

기저 (Basis)

주어진 vector space가 있을 때 해당 space의 차원을 확장(span)할 수 있는 linearly independent한 벡터를 basis라고 합니다. 다시 말해, 어떤 공간을 이루는 필수적인 구성요소라고 할 수 있겠습니다.