Linear combination (선형결합), Span, Column space (열공간)

span과 column space 개념을 알아보기 전에 linear combination의 정의를 살펴보겠습니다.

 

linear combination

벡터들을 스칼라배 해서 더하는 것을 linear combination이라고 합니다. 

$$a_1v_1+ a_2v_2 + a_3v_3$$

곱하고 더하기만 했으니 위 식은 linear 합니다. 또한 벡터들을 가지고 조합해서 만든 것이니 combination이라 할 수 있고 그렇기 때문에 선형 결합 (linear combination)이라고 부릅니다.

 

 

span

벡터들의 linear combination으로 나타낼 수 있는 모든 벡터 집합을 span이라고 합니다. 다시 말하자면, 현재 가지고 있는 벡터를 통해 표현할 수 있는 영역 (vector space)를 의미하기도 합니다. span은 점일수도 있고 선일수도 있고 면일 수도 있고.. 고차원의 공간일 수도 있습니다. 가지고 있는 벡터로 표현할 수 있는 공간이 1차원이라면, $a_1,a_2,a_3$ 스칼라 값을 바꿔줘도 line 밖으로 벗어나지 못합니다. 

 

 

column space

column 벡터들이 span하는 space를 말합니다. A의 column space는 $c(A), range(A)$로 표현할 수 있습니다.