전치 행렬 (Transpose matrix) 정의 및 성질, 에르미트 행렬 (Hermitian matrix) 연산

행렬 계산에 밥먹듯이 쓰이는 중요한 연산인 transpose, hermitian의 정의를 알아보고 transpose 성질에 대해 살펴봅시다.

 

Transpose란?

$$A=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$

$$A^T=\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$

 

행렬 대각 원소 (diagonal element)를 기준으로 원소 위치를 반전시켜주는 연산을 transpose라고 합니다. 

 

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$

$$A^T=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$$

 

위와 같이 행 벡터를 transpose 하면 열 벡터가 됩니다. 

 

Transpose 성질

1.  $(A^T)^T=A$

2. $(A+B)^T=A^T+B^T$

3. $(AB)^T=B^TA^T$

4. $(cA)^T=cA^T$, $c$는 상수

5. $det(A^T)=det(A)$

6. $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

 

symmetric matrix

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}=A^T$$

 

위와 같이 transpose를 취했을 때 자기자신이 나오는 행렬을 symmetric matrix라 합니다. 

 

Hermitian matrix

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 1+j \\ 1-j & 2 \end{bmatrix}$$

$$A^*=\begin{bmatrix} 1 & 1-j \\ 1+j & 2 \end{bmatrix}$$

$$(A^*)^T=A^H=A$$

 

행렬이 complex 값을 가질 때, symmetric matrix와 대응되는 행렬을 Hermitian matrix라 합니다. conjugate (*)는 복소수에서 허수부의 부호만 바꾸는 연산을 말합니다. 이 예시에서, conjugate를 수행하고 transpose 하면 결국에는 자기자신, 원래의 행렬로 돌아가게 되는데 이러한 행렬을 Hermitian matrix라고 합니다.