행렬의 계수, Rank

Rank

rank는 행렬이 가지는 independent한 column의 수를 말합니다. $rank(A)=rank(A^T)$로 나타낼 수 있기 때문에 independent한 row의 수를 말하기도 합니다. 또한, 열벡터가 표현할 수 있는 column space의 차원이자 행벡터가 나타낼 수 있는 row space의 차원을 의미합니다. 

 

Example

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$

 

위 행렬은 rank가 1입니다. 따라서, column space 상 2차원 공간에서 1차원에 span 합니다. $2\times3$ 행렬이지만 rank가 1로 더 작기 때문에 rank-deficient 라고 부릅니다.

 

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

 

위 행렬은 rank가 2입니다. $2\times3$ 행렬로 row의 개수만큼 rank가 꽉 차 있으므로 full-row rank 라고 합니다. 다른 예시로, $3\times2$ 행렬이 있다고 했을 때 rank가 2라면 full-column rank라 하고, $3\times3$ 행렬인데 rank가 3이라면 full-rank 라고 합니다.