전치 행렬 (Transpose matrix) 정의 및 성질, 에르미트 행렬 (Hermitian matrix) 연산

행렬 계산에 밥먹듯이 쓰이는 중요한 연산인 transpose, hermitian의 정의를 알아보고 transpose 성질에 대해 살펴봅시다.

 

Transpose란?

$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 0\end{array}\right]$$

$$A^T=\left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 0\end{array}\right]$$

 

행렬 대각 원소 (diagonal element)를 기준으로 원소 위치를 반전시켜주는 연산을 transpose라고 합니다. 

 

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$$

$$A^T=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$

 

위와 같이 행 벡터를 transpose 하면 열 벡터가 됩니다. 

 

Transpose 성질

1.  $(A^T{)}^T=A$

2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

3. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

4. $(cA{)}^T=c{A}^T$, $c$는 상수

5. $det(A^T)=det(A)$

6. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

 

symmetric matrix

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]=A^T$$

 

위와 같이 transpose를 취했을 때 자기자신이 나오는 행렬을 symmetric matrix라 합니다. 

 

Hermitian matrix

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1+j\\ 1-j& 2\end{array}\right]$$

$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}1& 1-j\\ 1+j& 2\end{array}\right]$$

$$(A^{\ast }{)}^T=A^H=A$$

 

행렬이 complex 값을 가질 때, symmetric matrix와 대응되는 행렬을 Hermitian matrix라 합니다. conjugate (*)는 복소수에서 허수부의 부호만 바꾸는 연산을 말합니다. 이 예시에서, conjugate를 수행하고 transpose 하면 결국에는 자기자신, 원래의 행렬로 돌아가게 되는데 이러한 행렬을 Hermitian matrix라고 합니다.