선형대수7 고윳값 (eigenvalue), 고유 함수 (eigenfunction) 개념으로 LTI 시스템 해석하기 선형대수에서 중요한 개념인 고윳값 (eigenvalue), 고유 벡터 (eigenvector) 그리고 고유 함수 (eigenfunction)의 정의를 살펴보고 LTI 시스템에서 각각 어떻게 나타나는지 알아봅시다. 고윳값과 고유 벡터 $$\mathbf{Av=\lambda v}$$ $\mathbf{A}$라는 행렬에 벡터 $ \mathbf{v}$를 곱했을 때, '벡터의 방향은 그대로 나오고 크기만 $\lambda$ 만큼 변한다'고 가정해봅시다. 이때, 위 식을 만족하는 $\mathbf{\lambda}$를 고윳값 (eigenvalue)이라 하고 $\mathbf{v}$를 고유 벡터 (eigenvector)라고 합니다. 고유 벡터를 무한 차원 (곧 signal)으로 확장하면, 고유 함수 (eigenfunction).. 2024. 4. 18. MVDR beamformer 유도 (Feat. 라그랑주 승수법) Narrowband라고 가정했을 때, MVDR beamformer를 라그랑주 승수법 (Lagrange Multiplier Method)을 이용해 직접 풀어봅시다. * Note! (소문자: scalar, 볼드체 소문자: vector)로 표기하였습니다. / 필기본에서는 notation이 다소 정확하지 않을 수 있으니 본문을 참고해주시기 바랍니다. Narrowband model Criterion Narrowband model을 가정하는 이유는 노란색으로 표시된 식과 같이 frequency 별로 independent한 식을 쓰기 위함 입니다. 식은, '소스 신호를 STFT한 $s_j(n,f)$와 소스 신호의 여러 개의 전파 경로를 합산한 결과를 STFT한 $\textbf{a}_j(n,f)$를 곱한 것은.. 2024. 3. 15. 내적 (inner product) & 정사영 (projection) 개념으로 Fourier Transform 해석하기 내적, 정사영, 단위벡터 개념을 알아보고 벡터 내적 관점으로 fourier transfrom 식을 해석해봅시다. 내적 (inner product)두 벡터가 얼마나 닮았는가, 즉 닮은 정도를 나타냅니다. 아래의 그림을 보면, 한 벡터가 다른 벡터 방향으로의 성분을 얼마나 가지고 있는지를 두 벡터를 내적함으로써 알 수 있습니다. 내적 (dot product)는 scalar product라고도 하며 좀 더 일반화된 용어로 inner product라고 불립니다. 다음으로 간단한 dot product 예시를 살펴보겠습니다. $$a=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} \; b=\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$$$ a \cdot b= \begin.. 2024. 3. 11. 전치 행렬 (Transpose matrix) 정의 및 성질, 에르미트 행렬 (Hermitian matrix) 연산 행렬 계산에 밥먹듯이 쓰이는 중요한 연산인 transpose, hermitian의 정의를 알아보고 transpose 성질에 대해 살펴봅시다. Transpose란? $$A=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$ $$A^T=\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$ 행렬 대각 원소 (diagonal element)를 기준으로 원소 위치를 반전시켜주는 연산을 transpose라고 합니다. $$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$ $$A^T=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$$ 위와 같이 행 벡터를 transpose 하면 열 벡터가 됩니다. Tr.. 2024. 3. 10. 선형 독립 (linearly independent), 기저(basis) 어떤 벡터를 나머지 벡터들의 조합으로 나타낼 수 있다면 선형 종속 (linearly dependent)이라 할 수 있습니다. 이와는 반대되는 개념인 선형 독립 (linearly independent)은 선형대수에서 매우 중요하게 다뤄지는 개념입니다. 왜 중요한지 정의와 예시를 함께 살펴보겠습니다. 선형 종속 (linearly dependent) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ 위 두 벡터는 선형 종속입니다. 왼쪽 벡터를 스칼라배 하게 되면 손쉽게 오른쪽 벡터를 얻을 수 있습니다. 그래프 상에서 나타내보면 두 벡터는 2차원 공간의 line 밖으로 벗어나지 못합니다. 선형 독립 (linearly ind.. 2024. 3. 8. Linear combination (선형결합), Span, Column space (열공간) span과 column space 개념을 알아보기 전에 linear combination의 정의를 살펴보겠습니다. linear combination 벡터들을 스칼라배 해서 더하는 것을 linear combination이라고 합니다. $$a_1v_1+ a_2v_2 + a_3v_3$$ 곱하고 더하기만 했으니 위 식은 linear 합니다. 또한 벡터들을 가지고 조합해서 만든 것이니 combination이라 할 수 있고 그렇기 때문에 선형 결합 (linear combination)이라고 부릅니다. span 벡터들의 linear combination으로 나타낼 수 있는 모든 벡터 집합을 span이라고 합니다. 다시 말하자면, 현재 가지고 있는 벡터를 통해 표현할 수 있는 영역 (vector space)를 의미하기.. 2024. 3. 8. 이전 1 2 다음
