고윳값 (eigenvalue), 고유 함수 (eigenfunction) 개념으로 LTI 시스템 해석하기

선형대수에서 중요한 개념인 고윳값 (eigenvalue), 고유 벡터 (eigenvector) 그리고 고유 함수 (eigenfunction)의 정의를 살펴보고 LTI 시스템에서 각각 어떻게 나타나는지 알아봅시다.

 

고윳값과 고유 벡터

 

$$\mathbf{Av}\mathbf{=}\lambda \mathbf{v}$$

 

$\mathbf{A}$라는 행렬에 벡터 $\mathbf{v}$를 곱했을 때, '벡터의 방향은 그대로 나오고 크기만 $\lambda$ 만큼 변한다'고 가정해봅시다. 이때, 위 식을 만족하는 $\lambda$를 고윳값 (eigenvalue)이라 하고 $\mathbf{v}$를 고유 벡터 (eigenvector)라고 합니다. 고유 벡터를 무한 차원 (곧 signal)으로 확장하면, 고유 함수 (eigenfunction)가 됩니다.

 

DTFT와 고유함수

 

$$X(e^{j\omega })=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j\omega n}$$

 

이산 시간 푸리에 변환 (Discrete-time Fourier transform, DTFT)은 시간 영역의 신호를 주파수 영역 표현으로 바꿔주는 연산입니다. 주파수 영역 신호인 $X(e^{j\omega })$는 이산 시간 시퀀스 $x[n]$이 단일한 주파수 신호 $e^{j\omega n}$의 성분을 얼마나 포함하고 있는지를 전 샘플 구간에서 구한 것 입니다. 이때, 변환된 후에도 방향이 유지되는 $e^{j\omega n}$은 고유 함수에 해당합니다. 

 

LTI 시스템 해석

선형 시스템 (linear system)에서, 입력 시퀀스  $x[n]$을 고유 함수인 $e^{j\omega n}$이라고 가정해봅시다. 여기서 $e^{j\omega n}$은 정현파 (sinusoidal)로 표현이 가능한 단일 주파수 신호를 나타냅니다.

 

 

임펄스 응답이 $h[n]$인 이산 시간 LTI 시스템의 출력은 컨볼루션 공식과 푸리에 변환 공식을 사용하여 아래와 같이 정리해줄 수 있습니다.

 

 

고유 함수가 입력으로 들어갈 때, 시스템의 출력은 고유 함수 $e^{j\omega n}$에 복소 상수 $H(e^{j\omega })$를 곱한 값으로 나옵니다. 즉, 푸리에 변환을 통해 얻은 주파수 영역 신호들은 선형 시스템을 통과해도 기본 성질은 변하지 않고 크기만 변한다는 점에서 위에서 살펴본 고유 벡터, 고유 함수의 특성과 유사한 것을 알 수 있습니다.

 

 

이러한 이유로, 출력 $y[n]$에서 $H(e^{j\omega })$는 고윳값 (eigenvalue), $e^{j\omega n}$은 고유 함수 (eigenfunction)가 되겠습니다!