DFS (Discrete Fourier Series) 바로 알기

이산 푸리에 급수 (DFS)의 정의와 특성을 알아보고 예시를 통해 개념을 정리해봅시다.

 

DFS (Discrete Fourier Series) 

periodic discrete-time signal

 

DFS는 주기성을 갖는 discrete signal을 주파수 성분들의 합으로 표현하는 방법입니다. 이때, 각각의 주파수 성분은 특정 주파수에 해당하는 기저 함수 (basis function)로 표현할 수 있습니다. 위 신호에서 fundamental period는 $N$이고 fundamental frequency는 ${\omega }_0=2\pi /N$으로 표기합니다.

 

 

주파수 성분들은 fundamental frequency $\frac{2\pi }{N}$의 정수 배로 주어지기 때문에, DFS는 periodic signal을 조화적 관계를 갖는 (harmonically related) 복소 지수 함수 (complex exponential)의 선형 결합으로 나타낼 수 있습니다. 이는 주기성을 갖는 discrete signal을 다양한 주파수 성분으로 분해할 수 있다는 걸 의미합니다. 

 

 

순서대로 DFS analysis, synthesis를 나타낸 식입니다.여기서 $\tilde{X}[k]$는 주파수 $\frac{2\pi k}{N}$에 해당하는, $x[n]$의 k번째 주파수 성분으로 DFS 계수입니다. $e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$은 특정 주파수를 나타내는 복소 지수 함수이고 $k$는 $0$부터 $N-1$까지의 정수입니다. 

 

 

정리해보자면, DFS는 periodic discrete signal을 harmonically related complex exponential의 선형 결합으로 표현할 수 있습니다. 이 과정을 통해, 신호를 여러 개의 주파수 성분으로 분해하여 각 성분의 기여도를 파악할 수 있게 됩니다. 각각의 주파수 성분은 fundamental frequency의 정수 배로, 한 주기 동안의 값들을 모두 합하면 원래의 periodic signal을 재구성 할 수 있습니다.

 

DFS 예시 살펴보기

* Periodic Imuplse Train의 DFS

 

 

* DFS의 duality

 

 

* Periodic Rectangular Pulse Train의 DFS

 

0~4까지는 1 값을 갖고 5~9까지 0 값을 갖는 주기가 $N=10$ 인 periodic sequence의 DFS 식은 위와 같이 등비급수 공식을 통해 계산됩니다. 오른쪽 그래프를 살펴보면, DFS 계수의 magnitude는 싱크 함수 형태로 그려지고 0값을 가질 때 phase가 정의되지 않는 걸 확인할 수 있습니다. 

 

DFS의 Property

* Linearity

 

 

* Shift of a sequence

 

 

* Duality

 

 

* Periodic Convolution

 

Periodic convolution은 주기적으로 반복되는 신호에 대한 컨볼루션을 수행합니다. 주기성을 갖는 시퀀스는 한 주기 간격으로 각 자리의 값을 곱하고 더하기를 반복합니다.

 

 

일반적인 linear convolution과는 달리, periodic convolution은 인덱스가 modulo $N$ 연산을 통해 순환됩니다. 즉, 샘플 $n$마다 주기적으로 반복됩니다.

 

Property 한 눈에 보기

 

 

GIST 신종원 교수님 '디지털신호처리' 수업 자료를 바탕으로 쓴 글입니다.