연구 노트/디지털신호처리15 고윳값 (eigenvalue), 고유 함수 (eigenfunction) 개념으로 LTI 시스템 해석하기 선형대수에서 중요한 개념인 고윳값 (eigenvalue), 고유 벡터 (eigenvector) 그리고 고유 함수 (eigenfunction)의 정의를 살펴보고 LTI 시스템에서 각각 어떻게 나타나는지 알아봅시다. 고윳값과 고유 벡터 $$\mathbf{Av=\lambda v}$$ $\mathbf{A}$라는 행렬에 벡터 $ \mathbf{v}$를 곱했을 때, '벡터의 방향은 그대로 나오고 크기만 $\lambda$ 만큼 변한다'고 가정해봅시다. 이때, 위 식을 만족하는 $\mathbf{\lambda}$를 고윳값 (eigenvalue)이라 하고 $\mathbf{v}$를 고유 벡터 (eigenvector)라고 합니다. 고유 벡터를 무한 차원 (곧 signal)으로 확장하면, 고유 함수 (eigenfunction).. 2024. 4. 18. LTI 시스템의 주파수 응답과 phase distortion, group delay LTI 시스템의 frequency response에 대해 알아보고 phase distortion, group delay 개념을 살펴봅시다. LTI 시스템의 frequency response 시스템의 주파수 응답 (frequency response)이 선형 시불변 시스템 (LTI system)을 특징짓듯이, 임펄스 응답 (impulse response)을 알면 LTI system 전체를 이해할 수 있게 됩니다. LTI system: linearity와 time-invariant 속성을 가진 시스템 impulse response: 시간 영역에서 LTI 시스템의 입출력 성질을 보여줌, 입력으로 임펄스가 들어왔을 때 시스템의 출력 frequency response: 주파수 영역에서 LTI 시스템의 입출력 성질을.. 2024. 4. 13. 업샘플링 (Upsampling) sampling rate을 변환하는 이유가 뭔지 생각해보고 샘플링 속도 (sampling rate)를 올리는 방법인 upsampling에 대해 알아봅시다. Upsampling $L$이라는 factor를 도입하여 $x[n]$의 샘플링 속도를 올리는 작업을 upsampling이라고 합니다. 샘플 수를 2배로 늘리기 위해, 사잇값을 0으로 채우는 등 기존의 시퀀스를 expand 했기 때문에 $x_e[n]=x[n/L]=x_c(nT/L)$으로 표기합니다. $x_e[n]$은 LTI의 컨볼루션 식과 비슷한 형태를 가지지만 실제로 컨볼루션 공식은 아니고 $n$이 $kL$일 때마다 $x_e[n]$이 원래의 샘플값을 갖는 델타에 관한 식 입니다. 사잇값으로 들어가는 게 실제 데이터가 아닌 0이기 때문에, 샘플 수가 많아진.. 2024. 4. 10. 다운샘플링 (Downsampling) sampling rate을 변환하는 이유가 뭔지 생각해보고 샘플링 속도를 줄이는 방법인 downsampling에 대해 알아봅시다. Sampling rate 변환 연속 시간 신호의 새로운 이산 시간 표현을 얻기 위해 이산 시간 신호의 샘플링 속도 (sampling rate)를 바꾸는 게 필요할 때가 있습니다. 샘플링 속도를 줄이는 작업을 downsampling, 올리는 작업을 upsampling이라고 합니다. Downsampling 기존의 시퀀스에서 샘플을 뽑아내어 새로운 시퀀스를 정의해줌으로써 샘플링 속도를 줄일 수 있습니다. $M$은 integer factor 입니다. $M$이 2라면 짝수 번 (even)째 값만 취하고 홀수 번 (odd)째 값은 버리게 됩니다. $M$이 3이라면, 3의 배수 번째 값만.. 2024. 4. 10. 샘플링 이론 (Sampling Theorem) 알아보기 나이퀴스트 샘플링 이론에 대해 알아보고 연속 시간 신호를 샘플링하여 이산 시간 신호로 만드는 과정을 살펴봅시다. Notation Periodic Sampling 연속 시간 신호의 이산 시간 표현을 얻을 때 쓰는 일반적인 방법에는 periodic sampling이 있습니다. 말 그대로 일정한 주기로 샘플을 뽑아내는 작업을 뜻합니다. 여기서 $T$는 sampling period를 나타냅니다. $f_s=1/T$는 sampling frequency (단위: smaple/sec)를 의미하고 $\Omega=2\pi/T$는 angular frequency (단위: radian/sec)를 나타냅니다. 샘플링을 수학적으로 표현해보겠습니다. 주기적인 임펄스 트레인 $s(t)$를 연속 시간 신호 $x_c(t)$에 곱해 $x.. 2024. 4. 8. sinsouidal 표현을 위해 Unit circle을 사용하는 이유 1. 삼각함수 표현 Unit circle의 반지름이 1이므로 sin, cos 삼각 함수를 나타내는데 용이합니다. Unit circle에서 원 위의 점 좌표(x,y)는 각각 $cos(\theta)$, $sin(\theta)$를 나타냅니다. 2. 위상 및 주파수 해석 또한 각도 $\theta$가 변경됨에 따라 원 위의 점이 원주를 중심으로 이동하여 진동 운동을 생성하는데 이를 통해 위상, 주파수, 진폭과 관련된 개념을 직관적으로 파악할 수 있습니다. sinsouidal function을 해석할 때 위상과 주파수를 설명하는 것이 일반적인데 Unit circle에서 각도 $\theta$의 변화는 sinsouidal의 위상 변화에 해당하고 점이 원 주위를 이동하는 속도는 파동의 주파수에 해당합니다. 3. 오일러 .. 2023. 8. 31. 이전 1 2 3 다음
