Wiener filter: 신호 필터링, 예측을 하는데 쓰는 linear filter

signal filtering, prediction에 쓰이는 wiener filter가 무엇인지 알아봅시다.

 

Wiener filter

MMSE (Minimum mean square error) criterion을 사용하여 최적의 값을 찾도록 설계된 linear filter를 wiener filter라고 합니다.

 

 

위와 같이, 마이크로부터 input signal $x(n)$이 들어오는 경우를 생각해봅시다. 우리는 $s(n)$ 신호만을 얻길 원하기 때문에 undesired interference 성분을 억제하는 필터를 설계하고자 합니다. 바로 이때, wiener filter를 씁니다. 다시 말해, wiener filter는 원하는 소스 신호 $s(n)$의 특성 (characteristics)을 그대로 유지하면서 input signal에 포함된 interference를 필터링하여 없애는 시스템을 만들 때 사용됩니다. 

 

clean source estimator, 입력: $x(n)=s(n)+w(n)$, 출력: $y(n)$

 

 

위 그림은 우리가 원하는 clean source sequence $d(n)$을 추정하는 estimator의 구조도입니다. 마이크로 받은 신호 $x(n)$이 noise를 많이 포함하고 있을수록 원하는 clean 소스 $s(n)$ 추정이 어려워집니다. estimator는 임펄스 응답이 $h(n)$인 linear filter로 constrain되며 필터 출력값 $y(n)$이 우리가 원하는 신호 시퀀스 $d(n)$에 근사하도록 설계됩니다. 원하는 신호와 필터 출력 값의 차이는 error sequence, $e(n)=d(n)-y(n)$로 나타냅니다.

 

다음으로 $d(n)$과 $s(n)$에 따라 해결할 문제가 어떻게 달라지는지 세 가지 특별한 경우를 살펴보겠습니다.

1. $d(n)=s(n)$인 경우, linear estimation 문제는 filtering

2. $d(n)=s(n+D)$, where $D>0$ 인 경우, linear estimation 문제는 signal prediction

3. $d(n)=s(n-D)$, where $D>0$ 인 경우, linear estimation 문제는 signal smoothing

 

wiener filter의 임펄스 응답 $h(n)$을 최적화하는 criterion은 MMSE 입니다. 일반적으로, wiener filter를 사용할 때 시퀀스 $s(n), w(n), d(n)$이 zero mean이고 wide-sense stationary (WSS) 성질을 갖는다고 가정합니다. WSS는 쉽게 말해 1,2차 통계치 (mean, variance)가 시간에 따라 변하지 않는 (shift-invariant) 성질을 말합니다. 

 

WSS 성질

 

WSS에 대한 내용은 GIST 신종원 교수님 '랜덤 프로세스' 수업 자료에서 가져왔습니다.

 

Reference

[1] “Wiener Filters for Filtering and Prediction,” www.youtube.com. https://www.youtube.com/watch?v=S0wz9jGu_Bc (accessed Mar. 13, 2024).

[2] “[영상처리] 5. Image Restoration,” Velog.io, 2023. https://velog.io/@jungizz_/%EC%98%81%EC%83%81%EC%B2%98%EB%A6%AC-5.-Image-Restoration (accessed Mar. 13, 2024).

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