NLMS filter의 Stability

normalized LMS filter의 stability에 대해 알아봅시다. 앞으로 나올 수식 전개는 모두 complex가 아닌 real을 가정하였습니다. 먼저, desired response $d(n)$에 additive disturbance가 존재한다고 가정해봅시다. 

 

 

weight error vector는 desired output을 출력하는 target weight 값에서 추정한 weight 를 뺀 것으로 아래와 같이 정의해주었습니다.

 

 

mean-square deviation은 weight error vector의 energy로 정의됩니다.

 

 

$\mathfrak{D}(n)$이 이차식이기 때문에, 최솟값 $\tilde{\mu}_{\mathrm{opt}}$은  $ \mathfrak{D}(n +1) - \mathfrak{D}(n) < 0$을 만족하는 $\tilde{\mu}$의 두 근 사이 중앙값입니다. $\tilde{\mu}_{\mathrm{opt}}$ 값은 아래 3가지 가정을 이용하여 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

 

3번째 가정에서 $u(n)$의 spectrum이 $\underline{\varepsilon}$가 차지하는 frequency band보다 넓은 범위에서 flat하다고 둠으로써, 특정 주파수 대역에서 $u(n)$을 균일하게 반영하여 근사화할 수 있습니다. 

 

 

GIST 신종원 교수님 '적응신호처리' 수업 자료를 바탕으로 쓴 글입니다.